Teodoro de Cirene

Pitagórico. Espiral de Teodoro:

Teodoro de Cirene (465 a.C.-398 a.C.) enseñó Matemáticas a Platón (427 a-C.-347 a.C.). A pesar de que sus obras se han perdido, sabemos por Platón (Diálogo: "Teeteto") que demostró la irracionalidad de las longitudes .

La espiral que aparece arriba se conoce con el nombre de "espiral de Teodoro" y constituye un método para construir geométricamente los segmentos de longitud .  El segmento horizontal inicial es un segmento de longitud igual a la unidad, igual que los segmentos perpendiculares que se van añadiendo. Del teorema de Pitágoras se deduce que la longitud de los segmentos radiales es la indicada: .

No hay constancia de que Teodoro de Cirene dibujara la espiral pero sí se sabe que demostró la irracionalidad de los segmentos de longitudes y la espiral, debido a su simplicidad y belleza, aparece reproducida en numerosos libros de texto.

Aquí raíz cuadrada de 3 significa longitud del lado del cuadrado de área 3 e irracionalidad significa inconmensurabilidad de esa longitud del lado con la del lado de un cuadrado de área unidad (inconmensurabilidad = inexistencia de un segmento que sirva de medida común a ambos segmentos). Se desconoce la razón por la que no generalizó el resultado a números mayores y por la que se detuvo en el caso 17. Algunos autores han conjeturado que no quiso continuar porque significaba dar otra vuelta y superponer los dibujos (Paul Nahin: "An Imaginary Tale: The history of ").

Boyer ("Historia de las Matemáticas") sostiene que dada la proximidad del descubrimiento de la irracionalidad de por parte de los pitagóricos, demostración clásica que conocemos por Aristóteles, la de Teodoro podría haber seguido la misma línea, es decir en la línea de razonamiento aritmético frente al geométrico.

La versión de Van der Waerden ("Science Awakening") es distinta: supone que Teodoro demostró, de forma geométrica, cada uno de los resultados por separado y que se detuvo al llegar a 17 porque la demostración concreta para 19 era más complicada, mientras que la de 18 no ofrecía interés por reducirse a la de casos anteriores (raiz(18) = 3 raiz(2)). En el texto indicado muestra la supuesta demostración que podría haber seguido Teodoro para los casos mencionados. En dichas demostraciones el método se habría basado en el principio de inconmensurabilidad expuesto en la proposición X.2 de los "Elementos" de Euclides (Si dadas dos magnitudes distintas a la mayor de ambas se le resta continuamente la más pequeña, y la parte restante nunca mide a la anterior, entonces las magnitudes son inconmensurables).

En el diálogo "Teeteto", dedicado a honrar la memoria de Teeteto tras su muerte (369 a.C.) como consecuencia de una enfermedad y de las heridas sufridas en el campo de batalla, Platón expone cómo fue este último, también discípulo de Teodoro, quien generalizó el resultado a longitudes de lados de cuadrados de áreas conmensurables pero no correspondientes a cuadrados perfectos. Se le atribuyen las proposiciones iniciales del libro X, siendo en X.9 donde aparece el resultado general mencionado.

El siguiente applet permite dibujar la espiral de Teodoro con un número de lados comprendido entre 1 y 99, permite cambiar el tamaño, y el botón "Limpiar" sirve para regenerar el último dibujo si éste se ensucia o se presenta borroso.