La matemática judio alemana Emmy Noether

Emmy trabajó especialmente en tres áreas de las matemáticas a lo largo de su carrera:
1. Trabajó sobre la teoría de los invariantes y los cuerpos numéricos.
2. Más adelante se centró en el estudio del álgebra abstracta
3. Y, por último, publicó obras sobre álgebra no comutativa y número hipercomplejos. 

Muchos de sus estudios supusieron un punto de partida para un gran número de líneas de investigación, incluso en campos muy alejados al suyo, como la topología algebraica. Sin embargo, es principalmente conocida por formular el Teorema de Noether. Este teorema tiene un gran número de aplicaciones prácticas en el campo de la física y, además, explica por qué existen leyes de conservación y magnitudes físicas que no cambian con el tiempo dentro de un sistema físico.

Emmy Noether

Emmy Noether, la mujer cuyo teorema revolucionó la física y a quien Einstein calificó de un absoluto "genio matemático".

Se le considera la madre del álgebra moderna con sus teorías sobre anillos y cuerpos, pero su aporte a la ciencia no se restringe a las matemáticas.
Su trabajo es fundamental para entender la teoría de la relatividad.

Y tampoco se limita a ella.
Noether es clave para comprender todas las teorías de la física.
Noether desarrolló un teorema que es clave para entender la física de partículas elementales y la teoría cuántica de campos.

El teorema conceptualmente es muy sencillo y matemáticamente muy complicado. Se trata de relacionar la simetría con las cantidades conservadas.

Lo que hizo Emmy Noether fue fundamentalmente relacionar la simetría de un sistema con las cantidades físicas que se conservan y esas cantidades son una herramienta fundamental a la hora de plantear problemas y de resolverlos en física.

Al teorema de Emmy Noether lo llaman el teorema más bello del mundo, pero no es solo que sea hermoso por las cuestiones de la simetría sino que es de una potencia matemática tremenda y de una potencia de cálculo fantástica.

Es un teorema sumamente elegante, trae la belleza de un concepto de simetría a lo que son los principios de la física.

Los efectos

Para explicar los fenómenos se dice que hay cosas que provocan ciertos efectos. Con el fin de poder describirlos y hasta medirlos se crean partículas conceptuales encargadas de llevar ese influjo entre las cosas.
Los bosones son los portadores de fuerza. O sea, por ejemplo, lo que hace que la energía solar llegue hasta la Tierra son los fotones. El Sol tiene un radio circunscripto, pero sus explosiones solares expanden la luz y la energía.
Todavía estamos dominados por la estructura mental mecanicista.

Descubrimiento matemático de los Agujeros de Gusano

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Los llamados agujeros de gusano -una especie de pasadizo entre dos puntos distantes o no del espacio-tiempo-, fueron descubiertos matemáticamente en 1916 por Ludwing Flamm, unos pocos meses después de que Einstein formulara su ecuación de campo ( relatividad general), como una solución a dicha ecuación de campo.
Posteriormente, en los años cincuenta fueron investigados intensamente mediante gran variedad de cálculos matemáticos por John Wheeler y su equipo.
Durante muchos años, los cálculos parecían indicar que se creaban en algún instante de tiempo y rápidamente se estrangulaban y se cerraban; pero en 1985, cuando Kip S. Thorne trataba de resolver un grave problema que tenía Carl Sagan con su novela Contact (Contacto), realizó una serie de cálculos que le llevaron a encontrar la solución a la inestabilidad de un presunto agujero de gusano.
La solución que encontró Thorne pasaba por un tipo de energía llamada exótica o energía negativa.

A diferencia de la materia o energía normal o positiva que actúa, en grandes concentraciones como puede ser una estrella masiva, como una lente gravitatoria convergente ( hace converger los rayos de luz)  la energía exótica o negativa actúa como lente gravitatoria divergente, manteniendo separadas las paredes del agujero de gusano. Hace divergir los rayos de luz que entren así como las fluctuaciones del vacío que de otra forma al ser multiplicados por el agujero impedirían su estabilidad y lo destrozarían.
El material exótico es más común de lo que nos podría parecer, de hecho las fluctuaciones del vacío que lo envuelven todo están formadas por energía positiva y energía negativa que en circunstancias normales producen una suma nula. Sin embargo Robert Wald ( colaborador de Wheeler) y Ulvi Yurtsever demostraron en los ochenta que en el espacio-tiempo curvo ( cerca de una gran masa), en una gran variedad de circunstancias, la curvatura distorsiona las fluctuaciones del vacío y las hace exóticas ( energía negativa).

Max Planck

Está la materia (constituida por fermiones) y las consecuencias de su movimiento sobre otra materia (bosones).

La Teoría Electromagnética generaba un problema cuando intentaba explicar la emisión de radiación de cualquier objeto en equilibrio, llamada Radiación Térmica, que es la que proviene de la vibración microscópica de las partículas que lo componen.

Usando las ecuaciones de la electrodinámica clásica, la energía que emitía esta radiación térmica daba infinito si se suman todas las frecuencias que emitía el objeto, con ilógico resultado para los físicos.

En 1900 al físico alemán Max Planck se le ocurrió un truco matemático:

Si en el proceso aritmético se sustituía la integral de esas frecuencias por una suma no continua se dejaba de obtener un infinito como resultado, con lo que eliminaba el problema y, además, el resultado obtenido concordaba con lo que después era medido.

Fue Max Planck quien entonces enunció la hipótesis de que la radiación electromagnética es absorbida y emitida por la materia en forma de «cuantos» de luz o fotones de energía mediante una constante estadística, que se denominó Constante de Planck.

Gauss

Gauss al igual que el ruso Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1793-1856), y el húngaro János Bolyai (1802-1860), crearon independientemente las geometrías no euclidianas. Gauss se adelantó en el tiempo a los otros matemáticos, pero no publicó sus resultados.

Carl Friedrich Gauss nació en 1777 en la ciudad alemana de Brunswick, y se educó en la Universidad de Göttingen. Produjo resultados del más alto nivel en casi todos los campos de las matemáticas puras y aplicadas. Su trabajo le valió el título de "Príncipe de los matemáticos'', y es considerado uno de los más grandes matemáticos de la historia.

Los esfuerzos de Gauss en la geometría no euclidiana empezaron desde 1792, cuando tenía 15 años, cuando le habría dicho a su amigo Schumacher que tenía la idea de una geometría válida sin el quinto postulado euclidiano. No obstante Gauss pasó varios años tratando de deducir el postulado a partir de otros.

En 1799 Gauss le escribió un carta al matemático húngaro Wolfgang Farkas Bolyai (1775-1856) en la que le expresaba su opinión: no se podía deducir el quinto postulado de los otros postulados euclidianos, y empezó a prestarle mucho cuidado a la existencia de geometrías sin ese postulado válidas y también aplicables a la realidad.

A partir de 1813 Gauss trabajó en la nueva geometría que llamó primero anti-euclidiana, luego astral y finalmente no euclidiana. Gauss llegó a la conclusión que no podía probarse que los resultados de la geometría euclidiana fueran autoevidentes y su verdad necesaria, lo que sí sucedía -en su opinión- con la aritmética.

Teodoro de Cirene

Pitagórico. Espiral de Teodoro:

Teodoro de Cirene (465 a.C.-398 a.C.) enseñó Matemáticas a Platón (427 a-C.-347 a.C.). A pesar de que sus obras se han perdido, sabemos por Platón (Diálogo: "Teeteto") que demostró la irracionalidad de las longitudes .

La espiral que aparece arriba se conoce con el nombre de "espiral de Teodoro" y constituye un método para construir geométricamente los segmentos de longitud .  El segmento horizontal inicial es un segmento de longitud igual a la unidad, igual que los segmentos perpendiculares que se van añadiendo. Del teorema de Pitágoras se deduce que la longitud de los segmentos radiales es la indicada: .

No hay constancia de que Teodoro de Cirene dibujara la espiral pero sí se sabe que demostró la irracionalidad de los segmentos de longitudes y la espiral, debido a su simplicidad y belleza, aparece reproducida en numerosos libros de texto.

Aquí raíz cuadrada de 3 significa longitud del lado del cuadrado de área 3 e irracionalidad significa inconmensurabilidad de esa longitud del lado con la del lado de un cuadrado de área unidad (inconmensurabilidad = inexistencia de un segmento que sirva de medida común a ambos segmentos). Se desconoce la razón por la que no generalizó el resultado a números mayores y por la que se detuvo en el caso 17. Algunos autores han conjeturado que no quiso continuar porque significaba dar otra vuelta y superponer los dibujos (Paul Nahin: "An Imaginary Tale: The history of ").

Boyer ("Historia de las Matemáticas") sostiene que dada la proximidad del descubrimiento de la irracionalidad de por parte de los pitagóricos, demostración clásica que conocemos por Aristóteles, la de Teodoro podría haber seguido la misma línea, es decir en la línea de razonamiento aritmético frente al geométrico.

La versión de Van der Waerden ("Science Awakening") es distinta: supone que Teodoro demostró, de forma geométrica, cada uno de los resultados por separado y que se detuvo al llegar a 17 porque la demostración concreta para 19 era más complicada, mientras que la de 18 no ofrecía interés por reducirse a la de casos anteriores (raiz(18) = 3 raiz(2)). En el texto indicado muestra la supuesta demostración que podría haber seguido Teodoro para los casos mencionados. En dichas demostraciones el método se habría basado en el principio de inconmensurabilidad expuesto en la proposición X.2 de los "Elementos" de Euclides (Si dadas dos magnitudes distintas a la mayor de ambas se le resta continuamente la más pequeña, y la parte restante nunca mide a la anterior, entonces las magnitudes son inconmensurables).

En el diálogo "Teeteto", dedicado a honrar la memoria de Teeteto tras su muerte (369 a.C.) como consecuencia de una enfermedad y de las heridas sufridas en el campo de batalla, Platón expone cómo fue este último, también discípulo de Teodoro, quien generalizó el resultado a longitudes de lados de cuadrados de áreas conmensurables pero no correspondientes a cuadrados perfectos. Se le atribuyen las proposiciones iniciales del libro X, siendo en X.9 donde aparece el resultado general mencionado.

El siguiente applet permite dibujar la espiral de Teodoro con un número de lados comprendido entre 1 y 99, permite cambiar el tamaño, y el botón "Limpiar" sirve para regenerar el último dibujo si éste se ensucia o se presenta borroso.